terça-feira, 30 de novembro de 2010

Historia PROBABILIDADE

PROBABILIDADE
   
 A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
   
 Experimento Aleatório
   
 É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
  
  Espaço Amostral
  
  É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

P(A)= número de casos favoráveis
            número de casos possíveis


Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

P(A)= número de elementos de A = n (A)
           número de elementos de S     n (S)

 

Exercícios Probabilidade

Exercícios Resolvidos - Probabilidades

1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Resposta: 5/6 = 83,33%
3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.

4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.

Resposta: 1/4.
5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.

Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.

O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.
Resposta: 1/3
7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.
Resposta: 1/5.
9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:
P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.
Comentários sobre o cálculo de Cn,p.
Como já sabemos da Análise Combinatória ,

Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p  possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.
Exemplos:
C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.
C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.
C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.
C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.
C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.
10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.
Resposta: 7/15.
Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 alunas. Portanto, ...

terça-feira, 23 de novembro de 2010

Exemplo:

 Considere-se a tabela seguinte, que apresenta o bónus recebido pelos funcionários de uma dada empresa, expresso em euros (variável y), e o respectivo tempo de serviço, em meses (variável x).



O gráfico de dispersão, bem como o cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, r, evidenciam forte correlação positiva.



O Excel permite adicionar rectas de tendência em modo gráfico, mas esse procedimento não é recomendado, visto que corresponde a desenhar as rectas “a olho”. 




EXERCÍCIOS DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

A tabela seguinte mostra os resultados de uma pesquisa com 10 famílias de determinada região.


FAMÍLIAS
RENDA
(R$ 100,00)
POUPANÇA
(R$ 10,00)
N.º DE FILHOS
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDO
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
  10
  15
  12
  70
  80
100
  20
  30
  10
  60
  25
  4
  7
  5
20
20
30
  8
  8
  3
15
10
8
6
5
1
2
2
3
2
6
1
4
  3
  4
  5
12
16
18
  8
  8
  4
  8
  9


PEDE-SE:

1.      o coeficiente de correlação linear de Pearson;
2.      a equação da reta, através da equação de regressão.


OBS.:  Calcule combinando: (sugestões)
a)      renda e poupança
b)      renda e número de filhos
c)      renda e média de anos de estudo da família
d)     poupança e número de filhos
e)      poupança e média de anos de estudo da família
f)       número de filhos e média de anos de estudo família
g)      média dos anos de estudo e número de filhos

Coeficiente de correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson é uma medida do grau de relação linear entre duas variáveis quantitativas. Este coeficiente varia entre os valores -1 e 1. O valor 0 (zero) significa que não há relação linear, o valor 1 indica uma relação linear perfeita e o valor -1 também indica uma relação linear perfeita mas inversa, ou seja quando uma das variáveis aumenta a outra diminui. Quanto mais próximo estiver de 1 ou -1, mais forte é a associação linear entre as duas variáveis.
O coeficiente de correlação de Pearson é normalmente representado pela letra r e a sua fórmula de cálulo é:

CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES


     Em pesquisas, freqüentemente, procura-se verificar se
existe relação entre duas ou mais variáveis, isto é, saber se
as alterações sofridas por uma das variáveis são
acompanhadas por alterações nas outras. Por exemplo,
peso vs. idade, consumo vs. renda, altura vs. peso, de um
indivíduo.
      O termo correlação significa relação em dois sentidos (co +
relação), e é usado em estatística para designar a força que
mantém unidos dois conjuntos de valores. A verificação da
existência e do grau de relação entre as variáveis é o objeto
de estudo da correlação.

domingo, 26 de setembro de 2010

Regressão linear

É um método para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x.
A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado.
A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear.

Procedimento:

  • Utilizar uma série histórica de dados;
  • "Tratar" os dados para obter o modelo de regressão;
  • Realizar previsões;