Historia PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

   

 A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

   

 Experimento Aleatório

   

 É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

  

  Espaço Amostral

  

  É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

P(A)= número de casos favoráveis
            número de casos possíveis

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

P(A)= número de elementos de A = n (A)
           número de elementos de S     n (S)

 

Exercícios Probabilidade

Exercícios Resolvidos - Probabilidades

1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.
2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Resposta: 5/6 = 83,33%
3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.

4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.
Resposta: 1/4.
5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.
Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.
Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.
6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.
Resposta: 1/3
7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.
8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.
Resposta: 1/5.
9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C_10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C_3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:
P = C_3,2 / C_10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.
Comentários sobre o cálculo de C_n,p.
Como já sabemos da Análise Combinatória ,

Esta é a forma tradicional de se calcular C_n,p.
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: C_n,p  possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.
Exemplos:
C_10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.
C_8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.
C_16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.
C_12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.
C_10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.
10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.
Resposta: 7/15.
Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 alunas. Portanto, ...

Exemplo:

 Considere-se a tabela seguinte, que apresenta o bónus recebido pelos funcionários de uma dada empresa, expresso em euros (variável y), e o respectivo tempo de serviço, em meses (variável x).



O gráfico de dispersão, bem como o cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, r, evidenciam forte correlação positiva.



O Excel permite adicionar rectas de tendência em modo gráfico, mas esse procedimento não é recomendado, visto que corresponde a desenhar as rectas “a olho”. 

EXERCÍCIOS DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

A tabela seguinte mostra os resultados de uma pesquisa com 10 famílias de determinada região.

FAMÍLIAS	RENDA (R$ 100,00)	POUPANÇA (R$ 10,00)	N.º DE FILHOS	MÉDIA DE ANOS DE ESTUDO
A B C D E F G H I J K	10   15   12   70   80 100   20   30   10   60   25	4   7   5 20 20 30   8   8   3 15 10	8 6 5 1 2 2 3 2 6 1 4	3   4   5 12 16 18   8   8   4   8   9

PEDE-SE:

1.      o coeficiente de correlação linear de Pearson;

2.      a equação da reta, através da equação de regressão.

OBS.:  Calcule combinando: (sugestões)

a)      renda e poupança

b)      renda e número de filhos

c)      renda e média de anos de estudo da família

d)     poupança e número de filhos

e)      poupança e média de anos de estudo da família

f)       número de filhos e média de anos de estudo família

g)      média dos anos de estudo e número de filhos

Coeficiente de correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson é uma medida do grau de relação linear entre duas variáveis quantitativas. Este coeficiente varia entre os valores -1 e 1. O valor 0 (zero) significa que não há relação linear, o valor 1 indica uma relação linear perfeita e o valor -1 também indica uma relação linear perfeita mas inversa, ou seja quando uma das variáveis aumenta a outra diminui. Quanto mais próximo estiver de 1 ou -1, mais forte é a associação linear entre as duas variáveis.
O coeficiente de correlação de Pearson é normalmente representado pela letra r e a sua fórmula de cálulo é:

CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES

     Em pesquisas, freqüentemente, procura-se verificar se
existe relação entre duas ou mais variáveis, isto é, saber se

as alterações sofridas por uma das variáveis são

acompanhadas por alterações nas outras. Por exemplo,

peso vs. idade, consumo vs. renda, altura vs. peso, de um

indivíduo.

      O termo correlação significa relação em dois sentidos (co +

relação), e é usado em estatística para designar a força que

mantém unidos dois conjuntos de valores. A verificação da

existência e do grau de relação entre as variáveis é o objeto

de estudo da correlação.

Regressão linear

É um método para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x.

A regressão, em geral, trata da questão de se estimar um valor condicional esperado.

A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Os modelos de regressão que não são uma função linear dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-linear.

Procedimento: Utilizar uma série histórica de dados; "Tratar" os dados para obter o modelo de regressão; Realizar previsões; 1 Equação da Regressão Linear

Variança e Desvio Padrão

Variância
A variância é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do conjunto menos uma. A variância é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:

∑ (xi – Média)² / (n – 1)
Ou seja,

s² = SQ / (n-1)

Desvio Padrão

O desvio padrão é uma das mais utilizadas medidas de variação de um grupo de dados. A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável (Kg, cm, atm…). É representado por “s” e calculado por:

s = √∑ ( x_i – Média)²/ (n – 1)

Podemos entender o desvio padrão como uma média dos valores absolutos dos desvios, ou seja, dos desvios considerados todos com sinal positivo, média essa obtida, porém, por um processo bastante elaborado: calculamos o quadrado de cada desvio, obtemos a média desses quadrados e, depois obtemos a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios.

Leia também:

1. Coeficiente de Variação
2. Mediana

Este blog tem por finalidade passar algumas imformações basicas sobre estatística. Essas imformações são advindas de estudos acadêmicos realizados recentemente, por esse motivo estão propensas a alguns erros tanto de conteúdo quanto de postagem.

O que é estatística?

Muito vagamente pode-se dizer que é "coleção de números que organiza que apresenta contagens e medições de dados". Mas esses dados pressisam ser, alem disso, analisados e interpretados para quye se possa fazer uso deles na tomada de decisão. Então, estatística é o ramo da Matemática que coleta, organiza, analisa e interpreta dados.

Medidas de Posição

Ao observar um gráfico ou tabela de dados quase sempre queremos resumi-lo em uma única informação, um ponto central a partir do qual todos os outros estão distribuidos, indicando um resultado geral. Ou seja, quando uma emissora de TV mede sua audiência mensalmente e obtém tais resultados em pontos: 37;28;40; e 32. Para saber qual é usa media de audiência em quatro meses calcula-se a "média" dos dados coletados, que será 34,25 pontos. Desse modo se faz um resumo das imformações obtidas. Ao estudo desse "resumo" dá-se com o nome de Médidas de Tendência central.

• Média Aritmética

È a medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada, e se define como a soma de valores no grupo de dados colhidos pelo número de valores. Ou seja, se um vendedor de livros tem os seguintes valores mensais que representam a quantidade de livros que vendeu: 30;27;39;41;20 e 32, quer dizer que em 6 meses ele vendeu em média 31,5 livros, pois :

30+27+39+41+20+32 = 31,5

Sua fórmula é representada dessa maneira:

onde x ( x-barra ) é o tipo de amostra a ser calculado, n é o número de valores da amostra, Σ ( letra grega chamada sigma ) lê-se somatório, x é o conjunto de valores que devem ser somados e i é o início, apartir de qual elemento ( valor ) do conjunto deve ser feito o somatório.

Entaum a formula acima deve ser lida "x barra é igual ao somatório de x indíce i, com i variando de um a n, dividido por n.

• Média Médiana

Valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados em ordem crescente. Se o conjunto apresenta dados de forma aleatoria, para determinar média médiana é preciso ordená-los. Em caso de conjunto de dados ímpar a médiana é o valor que fica no centro dos dados ordenados. Mas se o número de dados do conjunto a médiana é dada pela média aritmética dos dois valores que ocuparem a posição central dos dados ordenados.

• Moda

Valor que mais se repete em um conjunto de dados, sendo este conjunto unimodal quando apenas um valor se repete, bimodal quando dois valores se repete é plurimodal ou multimodal quando três ou mais valores se repetem.

• Ponderada

Como o próprio nome diz, média ponderada é o valor ponderado, resultante da média aritmética dos valores de acordo com a sua importáncia no grupo como um todo. Sua formula é dada por

onde xi representa cada valor, pi representa o peso de cada valor. Lê-se x barra igual ao somatório de xi multiplicado pelo somatório pi dividido pelo somatório.

• Harmônica

É definida como sendo número de valores dividida pela soma do inverso dos valores, e serve para medir grandezas inversamente proporcionais como no caso de velocidade e tempo.

• Geométrica

É o produto de valor de um conjunto à raiz correspondente ao número de valores desse conjunto, ou ainda é o produto dos valores elevado ao inverso dos valores.

Exercício

Exemplo 1:

Durante um determinado mês de verão, os oito representantes de venda de uma empresa de aquecedores e ar- condicionado venderam os seguintes números de unidades de ar- condicionado central: 8, 11, 5, 14, 8, 11,16, 11. Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número médio de unidades vendidas é

μ=(Σ X)/N =( 84)/8 =10,5 unidades

Exemplo 2:

O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana verificou-se as variações de acordo com a tabela informativa:

Segunda – R$ 2,30

Terça – R$ 2,10

Quarta- R$ 2,60

Quinta- R$ 2,20

Sexta – R$ 2,00

Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana.

Ma = (2,3 + 2,1 + 2,6 + 2,2 + 2) / 5

Ma = 11,2 / 5

Ma = 2,24

O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24.

Média Geométrica

Exemplo 1:

Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?

5√2*4*8*16*32 = 5√32768 = 8

Então:

A média geométrica deste conjunto de números é 8.

Exemplo 2:

Calcule a média geométrica de 1,4,16.

MG = ³√(1*4*16)

MG= ³√(1*2²*4²)

MG= 2²=4

Média Ponderada

Exemplo 1:

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0

2º Bimestre: 6,0

3º Bimestre: 8,0

4º Bimestre: 7,5

MP = 7,0 * 1 + 6,0 *2 + *8,0 *3 + 7,5 *4

1+ 2 +3+4

MP= 7,0 + 12,0 + 24,0 + 30,0

10

MP= 73/10 = 7,3

A média anual de Gabriel é corresponde a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:

¬Nota número de entrevistados


1 5



2 15



3 40



4 128



5 150



6 90



7 35



8 25



9 10



10 2



Total 500


MP = 1 *5 + 2 *15 +3 *40 + 4 *128 +5 *150 +6 *90 + 7 *35 +8 *25 +9 *10 + 10 *2



5 + 15 + 40 + 128 + 150 + 90 + 35 + 25 + 10 + 2


MP = 5 + 30 + 120 + 512 + 750 + 540 + 245 + 200 + 90 + 20


500


MP= 2512/ 500 = 5,0


A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.


Média Harmônica


Exemplo 1:

Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média do veículo durante o percurso.


De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação:



MH= ( n )/(1/x1+1/x2+1/x3+ …( 1)/( xn))


MH =( 2 )/(1/50+1/60)


MH=( 2 )/(6+5/300) = 2* 300/11 = 600/11 = 54


A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54 km/h.


Mediana


Exemplo 1:


Oito representantes de vendas venderam os seguintes números de unidades de ar- condicionado central, em ordem crescente: 5, 8, 11, 11, 11, 14, 16. O valor da mediana é:


Med =X_([(n/2)+ (1/2)]) =X_([(8/2)+ (1/2)]) = X_4,5 = 11,0


O valor da mediana está entre o quarto e quinto valores ordenados do grupo. Uma vez que ambos são iguais a “11”, neste caso a mediana é igual a 11,0.


Exemplo 2:


Para uma amostra de 15 estudantes do ensino fundamental em uma lanchonete, os seguintes valores de vendas agrupados em ordem crescente são observados: $ 0,10, 0,10, 0,25 , 0,25 , 0,25 , 0,35 , 0,40 , 0,53 , 0,90 , 1,25 , 1,35 , 2, 45 ,2,71, 3,09, 4,10. Determine a mediana para estes valores de vendas.


X_([(n/2)+ (1/2)]) = X_([(15/2)+ (1/2)]) = X_8 = $ 0,53


Moda


Exemplo 1:

Um especialista em padronização do trabalho observa os valores de tempo requerido para montar uma amostra de 10 cartas formais em escritório, com os seguintes resultados, listados em ordem crescente, do minuto mais próximo: 5, 5, 5, 7, 9, 14, 15, 15, 16,18. Determine a moda para este grupo.


O valor mais freqüente = 5,0

Exemplo 2:


A seguir está m amostra de 20 operadores de produção de uma companhia, os quais receberam os seguintes valores líquidos como pagamento após todos os descontos em uma dada semana, arredondado ao dólar mais próximo e agrupada em ordem crescente: $ 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 240, 255, 255, 265, 265, 280, 280, 300, 305, 325, 330, 340. Calcule a moda para este grupo de salários.


Moda = valor mais freqüente = $ 240,00

Fonte:


Livro: Estatística aplicada à administração e economia ( 4º edição/ Leonard J. Kazmier)



Sites: http://www.brasilescola.com/matematica/estatistica-2.htm


http://www.matematicadidatica.com.br/MediaAritmeticaGeometriaExercicios.aspx#anchor

Postado por Estatistica é como biquine às 21:51 0 comentários

Enviar por e-mail BlogThis! Compartilhar no Twitter Compartilhar no Facebook Compartilhar no Google Buzz

Comparação entre media, mediana e a Moda.

Comparação entre media, mediana e a Moda.

MÉDIA Vantagem : Reflete cada valor observado na distribiução

Desvantagem : É influenciada por valores extremos

MEDIANA Vantagem : Menos sensível a valores extremos do que a Média

Desvantagem : Difícil de determinar para grande quantidade de dados

MODA Vantagem : Maior quantidade de valores concentrados neste ponto

Desvantagem : Não se presta à análise matemática

RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA:

Como o próprio nome sugere, o valor da Mediana (que ocupa a posição central numa

distribuição de freqüência), deve estar em algum ponto entre o valor da Média e o valor da Moda,

mas pode também ser igual à Moda e à Média. Com essas três Medidas de Posição, podemos

determinar a ASSIMETRIA da curva de distribuição de freqüência.

Três casos podem ocorrer:

1o Caso Média = Mediana = Moda a curva da distribuição é SIMÉTRICA

2o Caso Média < Mediana < Moda a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA

3o Caso Média > Mediana > Moda a curva da distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA

Utilizando a fórmula para o cálculo do Coeficiente de Assimetria pelo primeiro coeficiente
de Pearson, fica bem fácil determinar se a Assimetria da distribuição é positiva ou negativa:

AS = X - MO Onde : AS = Coeficiente de Assimetria



o



X = Média



Mo = Moda



o = Desvio padrão







Conforme veremos mais adiante, quando abordarmos o assunto Medidas de Dispersão, o



denominador da fração na fórmula é o Desvio Padrão, que sempre será positivo (não existe Desvio



Padrão negativo). Ora, se o denominador é sempre positivo, o que irá determinar se a fração tem



resultado positivo, negativo ou nulo será o sinal do numerador, pois:







+ = + - = - 0 = 0



+ + +



Logo:

Se X > Mo => X - Mo > 0 => numerador = + => ASSIMETRIA POSITIVA



Se X < Mo => X - Mo < 0 => numerador = - => ASSIMETRIA NEGATIVA



Se X = Mo => X - Mo = 0 => numerador = 0 => ASSIMETRIA NULA = SIMÉTRICA


Quando a distribuição de freqüência tem Assimetria Positiva, podemos dizer que a



distribuição é Assimétrica à Direita (da curva);



Quando a distribuição de freqüência tem Assimetria Negativa, podemos dizer que a



distribuição é Assimétrica à Esquerda (da curva);







Onde: AS = Coeficiente de Assimetria




X = Média



Mo = Moda


s = Desvio Padrão


Medias de posição Professor: Pedro Bello